Übergangswahrscheinlichkeiten und Fermis Goldene Regel

Eine der größten Schwächen des Bohrschen Atommodells bei Atomspektren ist, dass es nicht erklären kann, warum einige Spektrallinien heller als andere sind. Die Erklärung lieferte dann die Quantentheorie mit den Wellenfunktionen. Wenn die Übergangswahrscheinlichkeit konstant in der Zeit ist, wird sie üblicherweise durch eine Bezeihung ausgedrückt, die "Fermis Goldene Regel" genannt wird.

Im Allgemeinen hängt die Übergangsrate von der Stärke der Kopplung zwischen dem Anfangs- und dem Endzustand des System ab und von der Anzahl der Möglichkeiten der Übergänge (Dichte der Endzustände). In vielen physikalischen Situationen lautet die Übergangswahrscheinlichkeit:

Die Übergangswahrscheinlichkeit l wird auch die Zerfallswahrscheinlichkeit genannt und hängt mit der mittleren Lebensdauer t der Zustände durch l = 1/t zusammen. Die allgemeine Form der Goldenen Regel kann auf Übergänge in einem Atom, Kernzerfälle, Streuung und eine Reihe weiterer physikalischer Übergänge angewendet werden.

Ein Übergang wird schneller stattfinden, wenn die Kopplung zwischen dem Anfangs- und dem Endzustand stärker ist. Diese Kopplung wird traditionell "Matrixelement" für den Übergang genannt. Dieser Ausdruck stammt von einer alternativen Formulierung der Quantenmechanik, die Matrizen statt Differenzialgleichungen, wie im Schrödinger-Bild, verwendet. Das Matrixelement kann als Integral geschrieben werden, wobei die Wechselwirkung, die den Übergang verursacht, als ein Potential V ausgedrückt wird, das auf die Wellenfunktion des Anfangszustands wirkt. Die Übergangswahrschenlichkeit ist proportional zu dem Quadrat des Integrals der Wechselwirkung über den gesamten Raum des Problems.

Dieses Integral mit der Wellenfunktion hat die gleiche Form, wie das Integral zur Bestimmung eines "Erwartungswerts", oder des erwarteten mittleren Werts für eine beliebige physikalische Variable der Quantenmechanik. Bei dem Erwartungswert für eine Eigenschaft wie z.B. der Systemenergie repräsentieren die Wellenfunktionen im Integral die Eigenzustände des Systems.

Die Übergangswahrscheinlichkeit ist auch proportional zu der Dichte des Endzustands rE. Häufig ist es so, dass der Endzustand aus mehrern Zuständen mit gleicher Energie besteht. Diese heißen dann "entartete" Zustände. Die Entartung wird manchmal als "statistisches Gewicht" ausgedrückt und erscheint dann als Faktor in der Übergangswahrscheinlichkeit. In vielen Fällen gibt es auch ein Kontinuum von Endzuständen, so dass die Dichte der Endzustände als Funktion der Energie ausgedrückt wird.

Index

Mehr zur Schrödinger- gleichung

Literatur
Merzbacher Abschn. 19.7

Krane
Int. Nuclear Physics, Abschn 2.8
 
HyperPhysics***** Quantenphysik R Nave
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