Zeitabhängige SchrödingergleichungDie zeitabhängige Schrödingergleichung lautet in einer Dimension: ![]() Für ein freies Teilchen (U(x) = 0) nimmt die Lösung der Wellenfunktion die Form einer ebenen Welle an: ![]() Bei anderen Problemstellungen legt das Potential U(x) die Randbedingungen des Ortsteils der Wellenfunktion fest und dient zur Separation der Gleichung in die zeitunabhängige Schrödingergleichung und in die zeitliche Entwicklung der Wellenfunktion. ![]() |
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Wellenfunktion für ein freies TeilchenFür ein freies Teilchen lautet die zeitabhängige Schrödingergleichung: ![]() Da sie orts- und zeitabhängig ist, nimmt man den Lösungsansatz: ![]() Unter der Annahme, dass die Wellenfunktion ein betimmtes Energieniveaus E darstellt, kann die Gleichung folgendermaßen separiert werden: ![]() Die orts- und zeitabhängigen Gleichungen werden hier getrennt voneinander gelöst:
Dies ergibt die Lösung einer Ebenen Welle:
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Freie-Teilchen-WellenDie allgemeine Form für die Wellenfunktion eines freien Teilchens lautet: ![]() Es handelt sich hierbei um eine komplexe Funktion, die auch geschrieben werden kann als
Entweder der Real- oder der Imaginärteil kann je nach Anwendung nützlich sein. Meistens ist man an Teilchen interessiert, die sich innerhalb gewisser Grenzen frei bewegen können, aber durch irgendeine Art von Potential eingeschränkt werden und Randbedingungen unterliegen. Das Teilchen im Kasten-Problem ist das einfachste Beispiel hierfür. Bei der Wellenfunktion für das freie Teilchen gibt es einen genau bekannten Impuls: ![]() aber durch die Normierung geht die Amplitude der Welle gegen Null, wenn sie sich unendlich ausdehnt(Unschärferelation).
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Zeitunabhängige SchröidngergleichungDie zeitunabhängige Schrödingergleichung in einer Dimension lautet: ![]() Dabei ist U(x) die potentielle Energie und E die Energie des Systems. Die Gleichung lässt sich leicht auf drei Dimensionen erweitern und oft wird sie in Kugelkoordinaten verwendet. |
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EnergieeigenwerteUm diskrete Energiewerte zu erhalten, wendet man den quantenmechanischen Operator für die Energie, den Hamiltonoperator, auf die Wellenfunktion an. Die Anwendung des Hamiltonoperators auf die Wellenfunktion ist die Schrödingergleichung. Lösungen für die zeitunabhängige Schrödingergleichung existieren nur für disktrete Werte der Energie, die man "Eigenwerte" der Energie nennt.
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1D-SchrödingergleichungDie zeitunabhängige Schrödingergleichung ist nützlich zur Auffindung der Energiewerte eines eindimensionalen Systems.
Diese Gleichung wird beim Teilchen im Kasten verwendet und heraus kommt: ![]() Beim Tunneleffekt lautet die Wellenfunktion innerhalb der Potentialbarriere: ![]() Der harmonische Oszillator liefert in einer Dimension: ![]() Dies ist die Wellenfunktion des Grundzustandes, wobei y die Verschiebung vom Gleichgewichtszustand ist. dreidimensionale Schrödingergleichung |
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