Zeitabhängige Schrödingergleichung

Die zeitabhängige Schrödingergleichung lautet in einer Dimension:


Für ein freies Teilchen (U(x) = 0) nimmt die Lösung der Wellenfunktion die Form einer ebenen Welle an:

Bei anderen Problemstellungen legt das Potential U(x) die Randbedingungen des Ortsteils der Wellenfunktion fest und dient zur Separation der Gleichung in die zeitunabhängige Schrödingergleichung und in die zeitliche Entwicklung der Wellenfunktion.


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Wellenfunktion für ein freies Teilchen

Für ein freies Teilchen lautet die zeitabhängige Schrödingergleichung:


Da sie orts- und zeitabhängig ist, nimmt man den Lösungsansatz:


Unter der Annahme, dass die Wellenfunktion ein betimmtes Energieniveaus E darstellt, kann die Gleichung folgendermaßen separiert werden:

Die orts- und zeitabhängigen Gleichungen werden hier getrennt voneinander gelöst:

Betrachtet man das System als Teilchen, dann gilt

Mit der De Broglie-Beziehung und der Wellenbeziehung folgt:

Betrachtet man das System als ein Wellenpaket, oder wie ein Photon, so ergibt sich mit der Planckhypothese

die Konstante b:

Dies ergibt die Lösung einer Ebenen Welle:

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Schrödingergleichung für freie Teilchen
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Freie-Teilchen-Wellen

Die allgemeine Form für die Wellenfunktion eines freien Teilchens lautet:


Es handelt sich hierbei um eine komplexe Funktion, die auch geschrieben werden kann als

Eulersche Identität

Entweder der Real- oder der Imaginärteil kann je nach Anwendung nützlich sein. Meistens ist man an Teilchen interessiert, die sich innerhalb gewisser Grenzen frei bewegen können, aber durch irgendeine Art von Potential eingeschränkt werden und Randbedingungen unterliegen. Das Teilchen im Kasten-Problem ist das einfachste Beispiel hierfür.

Bei der Wellenfunktion für das freie Teilchen gibt es einen genau bekannten Impuls:


aber durch die Normierung geht die Amplitude der Welle gegen Null, wenn sie sich unendlich ausdehnt(Unschärferelation).

TunneleffektEindringen in eine Potentialbarriere
Schrödingergleichung für freie Teilchen
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Zeitunabhängige Schröidngergleichung

Die zeitunabhängige Schrödingergleichung in einer Dimension lautet:

Dabei ist U(x) die potentielle Energie und E die Energie des Systems. Die Gleichung lässt sich leicht auf drei Dimensionen erweitern und oft wird sie in Kugelkoordinaten verwendet.

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Energieeigenwerte

Um diskrete Energiewerte zu erhalten, wendet man den quantenmechanischen Operator für die Energie, den Hamiltonoperator, auf die Wellenfunktion an. Die Anwendung des Hamiltonoperators auf die Wellenfunktion ist die Schrödingergleichung. Lösungen für die zeitunabhängige Schrödingergleichung existieren nur für disktrete Werte der Energie, die man "Eigenwerte" der Energie nennt.

Zum Beispiel lautet die Energieeigenwerte für den harmonischen Oszillator:

Die niedrigsten Schwingungsniveaus zweiatomiger Moleküle lassen sich oft, mit ausreichender Genauigkeit, an den harmonischen Oszillator annähern, um die Kraftkonstanten der Molekülbindungen zu bestimmen.

Die Energieeigenwerte sind diskret für kleine Energien, aber sie werden kontinuierlich für große Energien, da sich das System dann nicht mehr in einem gebundenen Zustand befindet. Bei einem realistischeren Potential (z.B. das eines zweiatomigen Moleküls) rücken die Energieeigenwerte bis zur Dissoziationsenergie immer näher zusammen. Die Energieniveaus nehmen nach der Dissoziation kontinuierliche Werte an, wie bei freien Teilchen.
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1D-Schrödingergleichung

Die zeitunabhängige Schrödingergleichung ist nützlich zur Auffindung der Energiewerte eines eindimensionalen Systems.

Allgemeines zur Schrödingergleichung

Diese Gleichung wird beim Teilchen im Kasten verwendet und heraus kommt:

Beim Tunneleffekt lautet die Wellenfunktion innerhalb der Potentialbarriere:

Der harmonische Oszillator liefert in einer Dimension:

Dies ist die Wellenfunktion des Grundzustandes, wobei y die Verschiebung vom Gleichgewichtszustand ist.

dreidimensionale Schrödingergleichung

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