Vektormodell für den Bahndrehimpuls

Der Bahndrehimpuls eines Elektrons in einem Atom kann durch ein Vektormodell dargestellt werden, bei dem der Drehimpulsvektor um eine Raumrichtung präzediert. Der Bahndrehimpulsvektor hat den Betrag, wie links gezeigt und es können nur maximal l-Werte entlang einer Richtung gemessen werden. l ist hier die Bahndrehimpulsquantenzahl.

Da es ein magnetisches Moment zu dem Bahndrehimpuls gibt, kann die Präzession mit der Präzession eines klassischen magnetischen Moments verglichen werden, welche durch ein Drehmoment des magnetischen Feldes verursacht wird. Diese Präzession wird Larmor-Präzession genannt und besitzt eine charakteristische Frequenz (Larmorfrequenz).

Auch wenn es "Vektor" genannt wird, so handelt es sich doch um einen besondere Art von Vektor, da die Projektion auf eine Raumrichtung quantisiert ist. Das Diagramm zeigt die möglichen Werte der "magnetischen Quantenzahl" ml , die z.B. für l = 2 die Werte

= -2, -1, 0, 1, 2

annehmen kann. Allgemein gilt:

= -l, -l+1,..., l-1, l .
Vektormodell für den Gesamtdrehimpuls
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Vektormodell für den Gesamtdrehimpuls

Die Zusammensetzung vom Bahndrehimpuls L und dem Elektronenspin-Drehimpuls S (eines Elektrons in einem Atom) zum Gesamtdrehimpuls kann durch ein Vektormodell dargestellt werden. Der Bahn- und der Spindrehimpuls präzediert jeweils um die Richtung des Gesamtdrehimpulses J. Dieses Modell lässt sich auf ein einzelnes Elektron, aber auch auf mehrere Elektronen anwenden, bei denen dann alle Spins und Bahndrehimpulse jeweils zu den Drehimpulsen S und L zusammengesetzt werden. Hierbei wird die L-S-Kopplung vorausgesetzt, die bei leichten Atomen und bei schwachen äußeren Magnetfeldern gilt.

Bei der Kombination handelt es sich um eine besondere Addition der Vektoren, wie oben für ein einzelnes Elektron mit l = 1 und s = 1/2 gezeigt wird. Wie auch beim Bahndrehimpuls ist die Projektion des Gesamtdrehimpulses, auf eine Raumrichtung, quantisiert.

Gesamtdrehimpuls in einem Magnetfeld
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Gesamtdrehimpuls in einem Magnetfeld


Durch die Kopplung von Bahn- und Spindrehimpuls im Vektormodell entsteht der Gesamtdrehimpuls, der um ein extern angelegtes Magnetfeld präzediert.

Dieses Modell ist hilfreich bei Wechselwirkungen, wie z.B. bei dem Zeeman-Effekt bei Natrium. Die Verteilung der magnetischen Energie ist proportional zu der Komponente des Gesamtdrehimpulses in Richtung des Magnetfeldes, welche üblicherweise als z-Richtung definiert wird.

Die z-Komponente ist quantisiert auf Werte, die sich um Eins unterscheiden. Das obige Vektormodell zeigt die Aufspaltung des oberen Niveaus des Natriumdubletts mit j = 3/2.

Doch auch mit dem Vektormodell ist die Bestimmung der Stärke der Zeeman-Aufspaltung nicht trivial, da die Richtungen von S und L sich ständig ändern, da sie um J präzedieren. Dieses Problem wird mit dem Landé-Faktor gelöst.

Diese Behandlung des Drehimpulses gilt bei schwachen äußeren Magnetfeldern, bei denen die Kopplung zwischen Spin- und Bahndrehimpuls stärker als die Kopplung mit dem externen Feld ist. Dies wird durch ein Vektormodell für den Gesamtdrehimpuls dargestellt. Sehr starke äußere Magnetfelder können den Spin- und Bahndrehimpuls entkoppeln. In diesem Fall spricht man von dem Paschen-Back-Effekt, der zu einer anderen Aufspaltung der Energieniveaus führt.

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