Elektronenspin


Durch die Spinstellungen "up" und "down" können zwei Elektronen die gleichen Quantenzahlen

haben.

Der Elektronenspin s = 1/2 ist eine wesentliche Eigenschaft eines Elektrons. Elektronen haben einen intrinsischen Drehimpuls, der durch die Quantenzahl 1/2 gekennzeichnet wird. Wie bei anderen quantisierten Drehimpulsen, ergibt sich ein Gesamtdrehimpuls von:

Durch die zwei Möglichkeiten für die z-Komponente dieses Drehimpulses ergibt sich die beobachtete Feinstruktur.
Aufgrund des magnetischen Moments des Elektrons ergibt sich eine Aufspaltung der Energie.

Weitere Erläuterung

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Elektronenspin

In den zwanziger Jahren des 20. Jahrhunderts gab es zwei experimentelle Hinweise auf eine weitere Teilcheneigenschaft des Elektrons. Einer davon war die Aufspaltung der Wasserstoff-Spektrallinien, die sogenannte Feinstruktur. Der andere Hinweis folgte aus dem Stern-Gerlach-Experiment, das 1922 zeigte, dass ein Strahl von Silberatomen in einem inhomogenen Magnetfeld in zwei Teiltrahlen aufgespalten wird. Beide Experimente zeigten, dass Elektronen einen intrinsischen Drehimpuls und ein magnetisches Moment besitzen. Klassisch konnte man dies erklären, wenn man die Elektronen als sich drehende, geladene Kugeln betrachtet – daher wurde diese Eigenschaft "Spin" genannt.

Eine Quantisierung des Drehimpulses tauchte bereits bei dem Bahndrehimpuls auf. Wenn sich der Elektronenspin genauso verhält, so müssen sich für die Drehimpulsquantenzahl s = 1/2 genau zwei Zustände ergeben. Für Elektronen gilt mit dieser intrinsischen Eigenschaft:

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Intrinsischer Elektronendrehimpuls

Aus Experimenten wie dem Stern-Gerlach-Versuch oder aus der Wasserstoff-Feinstruktur folgt, dass das Elektron einen intrinsischen Drehimpuls haben muss, der unabhängig von seinem Bahndrehimpuls ist. Dieser Drehimpuls muss zwei verschiedene Zustände haben und dem Schema für quantisierte Drehimpulse folgen – daraus ergibt sich 1/2 als Quantenzahl für den Drehimpuls.

Man sagt, das Elektron hat Spin 1/2. Mit der klassischen Betrachtung, dass das Elektron eine sich drehende, geladene Kugel ist, kann man den Drehimpuls und ein magnetisches Moment erklären, jedoch nicht den Betrag und die quantisierten Werte des Elektronenspins. Die Eigenschaft des Elektronenspins ist Teil der Quantentheorie und besitzt kein klassisches Analogon. Die zum Elektronenspin gehörigen Quantenzahlen folgen dem Schema:

Grafische Darstellung
Magnetisches Moment des Elektronenspins
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Magnetisches Moment des Elektronenspins

Da das Elektron einen intrinsischen Drehimpuls aufweist, könnte man vermuten, dass das magnetische Moment die gleiche Form, wie bei einer Elektronenbahn annimmt. Die z-Komponente des magnetischen Moments des Elektronenspins würde dann lauten:


Stattdessen wird jedoch ungefähr der doppelte Wert gemessen. Den gemessenen Wert kann man auch schreiben als:

Dabei ist g das gyromagnetische Verhältnis und der Elektronenspin g-Faktor hat den Zahlenwert g = 2.00232 (beim Bahndrehimpuls gilt g = 1). Der genaue Wert von g wurde von der relativistischen Quantenmechanik in der Diracgleichung vorhergesagt und bei dem Experiment zur Lamb-Verschiebung gemessen. Bei der Betrachtung der magnetischen Effekte ergibt sich eine Naturkonstante, die Bohrsches Magneton genannt wird. Das magnetische Moment wird üblicherweise in Vielfachen vom Bohrschen Magneton ausgedrückt.

Das magnetische Moment des Elektronenspins spielt eine wichtige Rolle bei der Spin-Bahn-Wechselwirkung, die für die Aufspaltung der Atom-Energieniveaus und für die Feinstruktur in den Atomspektren verantwortlich ist. Das magnetische Moment des Elektronenspins spielt auch eine Rolle bei der Wechselwirkung der Atome mit äußeren Magnetfeldern (Zeeman-Effekt).

Den Ausdruck "Elektronenspin" darf man nicht im klassischen Sinne wörtlich nehmen und den "Spin" als Ursache für das oben beschriebene magnetische Moment sehen. Eine sich drehende, geladene Kugel kann zwar ein magnetisches Moment erzeugen, jedoch kann der gemessene Betrag des magnetischen Moments mit einem solchen Modell nicht erklärt werden. Hochenergetische Streuexperimente zeigen keine "Ausdehnung" des Elektrons bis zu einer Auflösung von 10-3 Fermi, bei der sich das Elektron mit einer absurden Geschwindigkeit von 1032 rad/s drehen müsste, um den beobachteten Drehimpuls zu erhalten.

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Stern-Gerlach-Experiment

Dieses Experiment bestätigte die Quantiserung des Elektronspins, mit zwei möglichen Orientierungen. Dies war ein wichtiger Beitrag zur Entwicklung der Quantentheorie für das Atom.

Die potentielle Energie des magnetischen Moments des Elektronenspins in einem, in z-Richtung angelegten, Magnetfeld ist gegeben durch:

Hierbei ist g der Elektronenspin g-Faktor und mB das Bohrsche Magneton.

Mit der Beziehung zwischen Kraft und potentieller Energie ergibt sich:

Die Ablenkung des Strahls ist proportional zu dem Spin und zu dem Gradienten des Magnetfeldes.

Warum spaltet sich der Strahl in zwei Teilstrahlen auf?

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Große Experimente der Physik

Literatur:
Beiser
Perspectives of Modern Physics
 
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Stern-Gerlach-Experiment

1921 führten Otto Stern und Walter Gerlach ein Experiment durch, das die Quantisierung des Elektronenspins auf zwei mögliche Orientierungen zeigte. Dies war ein wichtiger Beitrag zur Entwicklung der Quantentheorie für das Atom.

Der Versuch wurde mit einem Strahl von Silberatomen, der in einem heißen Ofen erzeugt wurde, durchgeführt, da diese leicht mit einer Photoplatte detektiert werden konnten. Die Silberatome erlaubten Stern und Gerlach die magnetischen Eigenschaften eines einzelnen Elektrons zu untersuchen, da diese Atome ein einziges äußeres Elektron haben, das sich in dem Coulombpotential der 47 Protonen des Kerns (geschirmt von den 46 inneren Elektronen) bewegt. Da das äußerste Elektron keinen Bahndrehimpuls hat (Bahndrehimpulsquantenzahl l = 0), könnte man erwarten, dass es keine Wechselwirkung mit einem äußeren magnetischen Feld gibt.

Stern und Gerlach lenkten den Strahl von Silberatomen durch ein ungleichförmiges Magnetfeld (siehe Versuchsaufbau). Ein magnetisches Dipolmoment erfährt so eine Kraft, die proportional zu dem Feldgradienten ist, da die zwei "Pole" unterschiedlichen Feldern ausgesetzt sind. Klassisch würde man erwarten, dass alle möglichen Orientierungen der Dipole vorliegen und die Atome kontinuierlich verteilt auf der Photoplatte auftreffen. Es stellte sich jedoch heraus, dass sich der Strahl genau in zwei Komponenten aufteilt. Dies war ein Hinweis darauf, dass es nur zwei mögliche Richtungen für das magnetische Moment des Elektrons gibt.

Doch woher hat das Elektron ein magnetisches Moment, wenn es keinen Bahndrehimpuls hat, der einen "Stromkreis" erzeugt? 1925 postulierten Samuel A. Goudsmit und George E. Uhlenbeck, dass das Elektron einen intrinsischen Drehimpuls hat, der unabhängig vom Bahndrehimpuls ist. Klassisch betrachtet kann eine geladene Kugel ein magnetisches Moment besitzen, wenn sie sich um sich selbst dreht und die Ladungen am Rand somit einen effektiven Stromkreis erzeugen. Durch diese Betrachtung entstand der Ausdruck "Elektronen-Spin", um den intrinsischen Drehimpuls zu beschreiben.

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Große Experimente der Physik

Literatur:
Rohlf, Abschn. 8.4
 
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